An Overview of Image Segmentation Based on Pulse‑Coupled Neural Network

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论文：https://link.springer.com/article/10.1007/s11831-019-09381-5

摘要

基于神经元活动特性的脉冲耦合神经网络(PCNN)在图像分割领域具有很大的应用潜力

本文阐述了 PCNN 的内部行为，以展示其图像分割能力。其中有三个重要部分：动态特性、参数设定和复杂 PCNN。进一步，本文系统地提供了 PCNN 的相关分割内容，希望能帮助研究者了解 PCNN 模型的合适分割应用

Introduction

图像分割是图像处理中最重要的问题之一，其主要特点是根据图像的静态和动态特性将图像划分为一定数量的区域

在过去的几十年里，Eckhorn等人基于猫视觉皮层的仿生神经网络可以同步释放类似神经元输入的脉冲。Johnson等发展了上述模型，提出了脉冲耦合神经网络(PCNN)。随后，Ranganath和Kinser等人提出了改进的PCNN模型，并进一步利用了PCNN的图像处理能力

PCNN 在图像融合、图像分割、图像去噪、图像增强、特征提取等图像处理领域有着广泛的应用。近年来，PCNN 由于其神经元活动的同步动态特性，包括同步脉冲释放、捕获行为、非线性调制和自动波，在图像分割算法的发展中具有重要的潜力。此外，与其他流行的分割方法相比，PCNN 具有较低的计算复杂度和较高的分割精度，非常适合用于图像分割。因此，PCNN 在自然图像、医学图像等类型的图像中都能获得良好的分割应用效果

The whole framework of the pape-xadtnyxp.png

脉冲耦合神经网络

基本脉冲神经网络模型

与传统人工神经网络不同，PCNN 只有单层横向连接的脉冲耦合神经元，主要包括树突、膜电位、动作电位和动态阈值电位四个关键组成部分。在树突上，前馈突触接收外部刺激信号(主要输入信号)和邻近神经元的动作电位。此外，连接突触只与相邻的神经元相关联。上述两个突触的相互作用产生神经元的膜电位，将膜电位与动态阈值电位进行比较，判断是否产生动作电位

Lindblad 和 Kinser 等人发展了脉冲耦合神经网络，并提出了其离散模型。神经元 N_{ij} 位置的模型主要有五个部分：前馈输入 F_{ij}(n)、连接输入 L_{ij}(n) 、内部活动 U_{ij}(n) 、动态阈值 E_{ij}(n) 和脉冲输出 Y_{ij}(n)。其中，前馈输入 F_{ij}(n)和连接输入 L_{ij}(n)分别为：

\begin{equation} F_{ij}(n)=e^{-\alpha_f}F_{ij}(n-1)+V_F\sum_{kl}M_{ijkl}Y_{kl}(n-1)+S_{ij} \end{equation}

\begin{equation} L_{ij}(n)=e^{-\alpha_l}L_{ij}(n-1)+V_L\sum_{kl}W_{ijkl}Y_{kl}(n-1) \end{equation}

其中， e^{-\alpha_f} 和 e^{-\alpha_l} 表示先前输入状态的衰减因子， V_F和 V_L 是调节周围神经元动作电位的加权因子。 M_{ijkl} 和 W_{ijkl} 分别表示前馈突触和连接突触的权重。 S_{ij} 是对脉冲耦合突出调制有重要影响的外部前馈输入刺激

根据脉冲耦合神经网络的计算机制，输入和连接之间的非线性调制产生内部活动 U_{ij}(n)，从而推断膜电位的耦合结果。对应计算为：

\begin{equation} U_{ij}(n)=F_{ij}(n)(1+\beta L_{ij}(n)) \end{equation}

其中 \beta 表示连接强度，它直接决定连接输入L_{ij}(n)对内部活动U_{ij}(n)的贡献。上式显示了与神经元输入的调制耦合。显然，前馈输入F_{ij}(n)由于其权重分配而在耦合调制中发挥着最重要的作用，而连接输入L_{ij}(n)具有来自相邻神经元的次要影响。根据内部活动U_{ij}(n)与动态阈值E_{ij}(n)的比较结果，神经元放电条件和动态阈值E_{ij}(n)描述如下：

\begin{equation} Y_{ij}(n)= \left\{\begin{matrix} 1,&if&U_{ij}(n)>E_{ij}(n)\\ 0,&else \end{matrix}\right. \end{equation}

\begin{equation} E_{ij}(n)=e^{-\alpha_e}E_{ij}(n-1)+V_{E}Y_{ij}(n) \end{equation}

其中， \alpha_e是指数衰减因子，其值越小，动态阈值受前次迭代的影响越明显。 V_E是动态阈值的幅度，只有在先前的神经元放电之后才会产生明显的影响

The structure of basic PCNN model-sbucgfcx.png

经典 PCNN 改进模型

对于分割任务，有四种经典的改进 PCNN 模型：交叉皮层模型（ICM），区域生长 PCNN 模型（RG-PCNN），脉冲皮层模型（SCM），简化 PCNN 模型（SPCNN）。大多数改进或简化的 PCNN 模型都源自于上述模型，因为其具有较高的分割准确性和较低的计算复杂度。

ICM（忽略了 PCNN 中的连接输入）

Ekblad 等人提出了 ICM 用于提取没有明显边界的图像特征。这个 PCNN 结构简化了输入的传递和连接，同时保留了基本 PCNN 的特性。相应的方程如下所示：

\begin{equation} F_{ij}(n+1)=fF_{ij}(n)+S_{ij}+W_{ij}\{Y(n)\} \end{equation}

\begin{equation} Y_{ij}(n+1)= \left\{\begin{matrix} 1,&if&F_{ij}(n)>E_{ij}(n)\\ 0,&else \end{matrix}\right. \end{equation}

\begin{equation} E_{ij}(n+1)=gE_{ij}(n)+hY_{ij}(n+1) \end{equation}

其中 f和 g 分别是内部活动F_{ij}(n)和动态阈值E_{ij}(n) 的衰减常数。 h是动态阈值的振幅

RG-PCNN

Stewart 等人提出了 RG-PCNN，以基于种子点的区域生长方法实现，并避免了像素区域的过分细分或不足细分的问题。这是 PCNN 首次将基础区域生长算法与感兴趣区域分割相结合的模型。该模型被构建为：

\begin{equation} U_{ij}(n)=F_{ij}(n)\left\{1+\beta\left[\sum_{N_{ij}}Y_{ij}(n)-d\right]\right\} \end{equation}

\begin{equation} Y_{ij}(n)= \left\{\begin{matrix} 1,&if&U_{ij}(n)>E_{ij}(n)\\ 0,&else \end{matrix}\right. \end{equation}

\begin{equation} T_{ij}(n)= \left\{\begin{matrix} n,&if&Y_{ij}(n)=1\\ T_{ij}(n-1),&else \end{matrix}\right. \end{equation}

\begin{equation} E_{ij}(n)= \left\{\begin{matrix} \omega(n),&if&T_{ij}(n-1)=0\\ \Omega,&else \end{matrix}\right. \end{equation}

其中， F_{ij}(n) 是对应于第 n 次迭代的像素强度的输入。 T_{ij}(n) 是记录每次迭代中神经元点火状态的点火时间矩阵。 d 是一个抑制项，用于限制连接输入并改善分割图像的平滑度。参数 \omega 和 \Omega 是每次迭代的固定阈值

SCM

SCM 被构建为：

\begin{equation} U_{ij}(n)=fU_{ij}(n-1)+S_{ij}\beta V_L\sum_{kl}W_{kl}Y_{kl}(n-1)+S_{ij} \end{equation}

\begin{equation} E_{ij}(n)=gE_{ij}(n-1)+V_EY_{ij}(n-1) \end{equation}

\begin{equation} Y_{ij}(n)= \left\{\begin{matrix} 1,&if&U_{ij}(n)>E_{ij}(n)\\ 0,&else \end{matrix}\right. \end{equation}

其中 f 和 g 表示指数衰减因子。 V_L 和 V_E 分别表示内部活动和动态阈值的幅度。 \beta 是连接强度。显然，SCM 保留了基本 PCNN 的主要特征，并将设置参数从七个减少到五个。此外，SCM 的负时间矩阵可以将人类主观感知与 PCNN 的客观输入刺激联系起来

SPCNN

基于 SCM 模型，提出了一个带有自动参数设置方法的 SPCNN 模型，用于分割指定的对象。前者的设置参数是通过经验图像属性值获得的，而后者的参数可以根据 PCNN 的静态和动态特性自动确定。其中，SPCNN 的参数设置被表示为

\begin{equation} W_{ijkl} = \begin{bmatrix} 0.5 & 1 & 0.5 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0.5 & 1 & 0.5 \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} \alpha_f=\log{(\frac{1}{\sigma(S)})} \end{equation}

\begin{equation} \beta=\frac{(S_{max}/S')-1}{6V_L} \end{equation}

\begin{equation} V_E=e^{-\alpha_f}+1+6\beta V_L \end{equation}

\begin{equation} V_L=1 \end{equation}

\begin{equation} \alpha_e=\ln{\left(\frac{V_E/S'}{\frac{1-e^{-3\alpha_f}}{1-e^{-\alpha_f}}+6\beta V_{L}e^{-\alpha_f}}\right)} \end{equation}

动态属性

前馈输入 F

前馈输入F_{ij}(n)可以重写为 F_{ij}(n)=F1+F2+F3。其中，第一项 F1 表示基于指数衰减因子 e^{-\alpha_f} 的先前前馈状态；第二项 F_2 表示以 V_F 为权重因子的临近神经元的动作电位输出；第三项 F_3 为外部输入刺激。神经元通过调整 F_1中参数e^{-\alpha_f}来改变自己先前的状态，并且根据F_2总是受到其临近神经元的影响，神经元还会基于F_3接受外部刺激

由于F_1和F_2与L_{ij}(n)中的传统连接输入相比具有相似的输入表达和实际影响，因此简化的馈送输入倾向于被定义为 F_3，即

\begin{equation} F_{ij}(n)=S_{ij} \end{equation}

输入刺激S_{ij}(n)始终定义为图像属性值，例如像素强度和像素梯度值。此外，目前还有少量文献使用的前馈输入由 F_2 和 F_3 组成。文献采用了简化的前馈输入，将中央神经元与邻近神经元强关联起来，以检测裂缝的存在。简化的前馈输入为

\begin{equation} F_{ij}(n)=S_{ij}+V_F\sum{M_{ijkl}Y_{kl}(n-1)} \end{equation}

基本 PCNN 的后续前馈输入可以是 F_1、 F_2 和 F_3 的任意组合，以解决实际的图像分割问题

连接输入 L

连接输入 L_{ij}(n)可以重写为 L_{ij}(n)=L1+L2。第一项 L_1 表示基于参数 e^{-\alpha_l} 的指数衰减因子的先前连接输入状态。第二项 L_2 给出邻近神经元的动作电位输出。但是上述两项很难与 F_{ij}(n) 中的前两项进行区分，为了在 F_{ij}(n) 和 L_{ij}(n) 之间建立清晰的对应关系，大多数简化的 PCNN 模型主要保留 L_2 。连接输入主要关注相邻放电神经元的真实影响，以展示神经元之间的连接性和互操作性。最简化的连接输入写为

\begin{equation} L_{ij}(n)=V_L\sum_{kl}{W_{ijkl}Y_{kl}(n-1)} \end{equation}

此外，简化的连接输入 L_{ij}(n) 还可以增加一个正常数 d 作为抑制项，以提高神经元放电区域的平滑度，特别是当整个图像的像素强度差异较小时。连接输入 L_{ij}(n) 被重写为

\begin{equation} L_{ij}(n)=\sum_{kl}{W_{ijkl}Y_{kl}(n-1)}-d \end{equation}

上述公式中， d\in(0,1] 。参数 d 的值越大，分割后的图像得到的最终分割区域越平滑。邻近的放电神经元也可以直接影响连接输入。显然，连接输入的修改表达始终取决于抑制项 d 和邻近的动作电位 Y_{kl}(n-1)

内部活动 U

内部活动 U_{ij}(n) 来自前馈输入和连接强度为 \beta 的连接输入之间的耦合结果， U_{ij}(n) 随着以上两个输入的增加而增加。近年来，SPCNN 、增强型 PCN、脉冲耦合神经滤波器等对内部活动的表达有了显著的改进

SPCNN 中，内部活动包括其先前的神经元状态和上述的耦合结果，即

\begin{equation} \begin{split} U_{ij}(n) &= e^{-\alpha_f}U_{ij}(n-1)+F_{ij}(n)(1+\beta L_{ij}(n) \\ &= e^{-\alpha_f}U_{ij}(n-1)+S_{ij}(1+\beta V_L\sum_{kl}{W_{ijkl}Y_{kl}(n-1)}) \end{split} \end{equation}

其中参数 \alpha_f 是基于内部活动的指数衰减因子。与大多数简化的 PCNN 模型相比，SPCNN 的内部活动 U_{ij}(n) 提供了更合理的神经元调制结果

增强型 PCN 是一个两层循环 PCNN，其每层的内部活动 U_{ij}(n) 增加了由连接强度 \gamma 调节的抑制项 \gamma L_{ij}(t) 。增强型 PCN 的内部活动项如下所示

\begin{equation} U_{ij}(n)_1=F_{ij}(n)(1+\beta_1L_{ij}(n)_{11}-\gamma_1L_{ij}(n)_{12} \end{equation}

\begin{equation} U_{ij}(n)_2=F_{ij}(n)(1+\beta_2L_{ij}(n)_{21}-\gamma_2L_{ij}(n)_{22} \end{equation}

与基本 PCNN 相比，抑制项重新调整了相应神经元的放电时间。更重要的是，两层网络的神经元放电速度比单层 PCNN 更快

对于脉冲耦合神经滤波器，改变传统的耦合调制以避免零值像素的直接影响，并给出新的内部活动如下：

\begin{equation} U_{ij}(n)=F_{ij}(n)+\beta L_{ij}(n) \end{equation}

动作电位 Y

对于基本 PCNN，动作电位 Y_{ij}(n) 的生成源自内部活动 U_{ij}(n)和动态阈值 E_{ij}(n)的比较。若 U_{ij}(n)>E_{ij}(n)，神经元 N_{ij}(n) 输出脉冲（ Y_{ij}(n)=1）；否则，它不会触发（ Y_{ij}(n)=0）。此外，动作电位 Y_{ij}(n) 的输出值有时可以通过逻辑运算规则来设置。当然，参考 SCM 模型，动作电位 Y_{ij}(n) 也可以描述为

\begin{equation} Y_{ij}(n)= \left\{\begin{matrix} 1,&if&\frac{1}{1+e^{(-\gamma(U_{ij}(n)-E_{ij}(n)))}}>0.5\\ 0,&else \end{matrix}\right. \end{equation}

此时，动作电位Y_{ij}(n)采用参数为 \gamma 的 sigmoid 函数。这表明动作电位可以产生各种类型的脉冲输出

除了上述 sigmoid 函数外，动作电位还可以采用径向基函数。其方程描述为

\begin{equation} Y_{ij}(n)=e^{-(U_{ij}(n)-E_{ij}(n))^2} \end{equation}

此外，动作电位还可以产生除“0”或“1”之外的其他输出值，例如

\begin{equation} \left\{\begin{matrix} \xi_{ij}(n)&=&U_{ij}(n)-E_{ij}(n)\\ G_{ij}(n)&=&\sum_r\sum_t|\xi_{ij}(n)-\xi_{i+r,j+t}(n)|\\ Y_{ij}(n)&=&\left[ \frac{\xi_{ij}(n)}{\max{\xi(n)}}\times k \right] \end{matrix}\right. \end{equation}

其中， \xi_{ij}(n)是基于内部活动和动态阈值比较的初始输出结果， G_{ij}(n) 表示参数 x_{ij}(n) 和相邻阈值间的差异， Y_{ij}(n) 和 k 分别是最终动作电位和层次参数。上述动作电位设置方法将更多基于空间邻接接近度的相关图像信息合并到动作电位的表达中

动态阈值 E

动态阈值 E_{ij}(n) 受指数衰减因子 \alpha_e 和幅度参数 V_E 的影响，对 PCNN 分割起着重要作用。内部活动 U_{ij}(n) 与动态阈值 E_{ij}(n)的比较结果可以直接判断神经元是否激发。这表明动态阈值 E_{ij}(n)的计算结果明显影响最终的点火结果。动态阈值 E_{ij}(n)的值越小，迭代时激发神经元的数量越多。

Gao 等人采用包含对象聚类中心的 m_2(n) 的正则化 Heaviside 函数 H_\varepsilon 对动态阈值进行修改：

\begin{equation} E_{ij}(n)=m_2(n)H_{\varepsilon}\{m_2(n)-I_{ij}\} \end{equation}

由于参数 H_\varepsilon 和 m_2(n) 的使用，动态阈值不能形成周期性振荡。此外，如果神经元的内部活动低于 m_2(n) ，它将被阻止点火

Cheng 等人引入衰减常数 \lambda 来控制发射信号输入和归一化像素强度 S_{ij}(n) 的变化率，新的动态阈值为：

\begin{equation} E_{ij}(n)=\lambda\sum_{kl}\{Y_{kl}(n-1)S_{ij}\} \end{equation}

动态阈值随着相邻放电神经元数量的增加而逐渐增大，直到新阈值满足整个循环的终止条件。这里，动态阈值的设置方法侧重于邻近像素和归一化像素强度的影响，而不是动态阈值本身

Xiang 等人使用五个适当的参数来形成新的动态阈值，而不是基本的 PCNN 的参数 \alpha_e 和 V_E ，动态阈值为：

\begin{equation} E_{ij}(n)=T^{+}-n\times N \quad n\le M,\ where\ M=\frac{K}{N} \end{equation}

其中， N 是衰减过程的长度， T^+ 和 K 分别是动态阈值的上限和变化范围的宽度， n表示迭代次数， M 表示最大迭代次数。由于参数 T^+、 N 、 M 和 K 被设置为恒定值，动态阈值的变化仅取决于参数 n 。这种设置方法提供了一种新的思路，即动态阈值由 PCNN 的迭代次数来确定

特征表达

熵序列

Ma 等人提出了一种基于最大熵的自动图像分割方法，在 n 次迭代后选择最优分割结果。他们还给出了一个熵序列来提取测试图像的特征值。对于熵序列，每次迭代时首先计算信息熵

\begin{equation} H(P)=-P_1\log{(P_1)-P_0\log{(P_0)}} \end{equation}

其中 H(P) 表示二值图像的信息熵。 P_1 和 P_0分别是‘1’和‘0’出现的概率。其次，将所有信息熵组合成一个序列，将其视为熵序列。它在旋转、平移和缩放方面具有不变的纹理特征。值得注意的是，大多数图像总是通过设置合适的 PCNN 参数来生成唯一的熵序列

时间序列和时间矩阵

时间序列由每次迭代中放电神经元的总和给出。其表达式如下

\begin{equation} T_1(n)=\sum_{x,y}Y_{ij}(n) \end{equation}

显然，时间序列可以保存整个图像的神经元放电信息，并进一步完成多维和一维信息之间的特征转换。此外，还给出了时间矩阵的相关数学定义以确定其最终表达式。它们对应的方程描述为

\begin{equation} T_{ij}(n)=\log_g{\frac{U_{ij}[T_{ij}(n)]}{\theta_{ij}(0)}} \end{equation}

参数 g 和 \theta_{ij}(0) 分别是衰减系数和动态阈值的幅度。由于上述 T_{ij}(n) 是隐函数，无法得到计算结果，所以可通过下述公式得到时间矩阵

\begin{equation} T_{ij}(n)=T_{ij}(n-1)+nY_{ij}(n) \end{equation}

临近点火矩阵

采用邻近点火矩阵来记录每次迭代时邻近点火神经元的数量。给出四个邻近神经元的点火矩阵的数学方程为

\begin{equation} Q_{i,j}(n)=Y_{(i+1,j)}(n-1)+Y_{(i_1,j)(n-1)}+Y_{(i,j+1)}(n-1)+Y_{(i,j_1)(n-1)} \end{equation}

基于人类视觉系统（HVS）的邻近发射矩阵可以提高边缘区域的图像描述能力，从而轻松地为 PCNN 生成更合理的输入刺激

神经元点火的亚强度范围

亚强度范围表现出每次迭代时点火神经元的相应像素强度。因此，计算和分析 PCNN 神经元放电的亚强度范围具有重要意义

参数设置

输入刺激

对于传统的 PCNN，输入刺激 S_{ij} 通常被定义为归一化像素强度，它直接影响馈送输入的计算结果。由于越来越多的研究人员关注 HVS，随后提出了修改策略，将 PCNN 的输入刺激与 HVS 相关联。基于韦伯-费希纳定律，使用一种新的输入刺激来模拟人类视觉感知，其表达式由下式定义

\begin{equation} S_{ij}(n)=K\ln{B}+K_0 \end{equation}

其中， B 和 S_{ij} 分别表述客观和主观像素强度， K 和 K_0 是两个调制常数

Huang 等人采用了更合理的类似于人眼输入的外部刺激

\begin{equation} S_{ij}(n)=K\left[\alpha_e-\alpha_eT_{ij}+\ln{(\frac{V_E}{C})}\right]+r \end{equation}

其中， K、 C和 r 是三个经验常数。 T_{ij} 记录来自放电神经元的相应迭代时间。上式建立了时间矩阵 T_{ij} 与主观视觉亮度之间的关系

还有使用了输入刺激的新表达式，如下所示

\begin{equation} S_{ij}=\ln{\left[1+Sori_{ij}+\frac{4S'^{3}}{Q_{ij}+(4-Q_{ij})S'}\right]} \end{equation}

其中 Sori_{ij} 是原始图像中位置 (i,j) 的归一化像素强度。 S' 表示原始图像的归一化大津阈值。 Q_{ij} 表示相邻发射矩阵 Q 在位置 (i,j) 处的对应值。在上述公式中，相邻点火矩阵和 Otsu 阈值决定了修改后的 PCNN 模型的输入刺激

指数衰减因子

指数衰减因子 \alpha_f 和 \alpha_l

对于图像分割，指数衰减因子 \alpha_f 和 \alpha_l始终设置为复杂场景下的经验值。为了满足识别复杂目标的期望要求，提出了几种自适应参数设置方法，例如 SPCNN 和 PA-PCNN

在 SPCNN 中，参数 \alpha_f 和 \alpha_l合并为一个参数 \alpha_f ，其方程为

\begin{equation} \alpha_f=\log{(\frac{1}{\sigma})} \end{equation}

基于 SPCNN，PA-PCNN 中的参数 \alpha_f 采用归一化 Otsu 阈值 S'，其方程为

\begin{equation} \alpha_f=\log{(\frac{1}{S'})} \end{equation}

与 PA-PCNN 相比，SPCNN 中的参数\alpha_f容易产生更明显的指数衰减

指数衰减因子 \alpha_e

chen 等人使用自适应参数表达式，其方程为

\begin{equation} \alpha_e=\ln{\left(\frac{V_E/S'}{\frac{1-e^{-3\alpha_f}}{1-e^{-\alpha_f}}+6\beta V_{L}e^{-\alpha_f}}\right)} \end{equation}

其中， S' 表示归一化 Otsu 阈值

zhou 等人使用先前迭代中点火区域的聚类平均值 m_2(n)，以建立参数 m_2(n) 和 \alpha_e 之间的关系

\begin{equation} \alpha_e=-\ln{\left(\frac{m_2(n)}{m_2(n-1)}\right)} \end{equation}

wei 和 Helmy 等人采用平均灰度级 \mu 和可调常数 C

\begin{equation} \alpha_e=\frac{C}{\mu} \end{equation}

此外，还有简化表达式

\begin{equation} \alpha_e=\frac{1}{S'} \end{equation}

输入幅度

前馈输入幅度 V_F 和连接输入幅度 V_L

基本 PCNN 中的参数 V_F 和 V_L 分别表示前一次迭代中馈送输入和连接输入的相邻神经元的输出值之和的幅度。在大多数流行的修改模型中，通常会消除上述两个参数以降低计算复杂度。同时，几个重要的 PCNN 模型仅保留参数 V_L，根据经验将其设置为 1

动态阈值幅度 V_E

参数 V_E 是由经验数据合理演化为自适应结果。值得注意的是，由于它们在图像分割中的实际作用，应该引入几种自适应设置方法，例如 SPCNN 和 MSPCNN

对于 SPCNN，通过合理的公式推导将参数 V_E设置为自适应值

\begin{equation} V_E=e^{-\alpha_f}+1+6\beta V_L \end{equation}

参考 SPCNN，MSPCNN 中的参数 V_E 减少了设置参数的数量，其公式写为

\begin{equation} V_E=1+S'^2-S'^8 \end{equation}

其中，参数 S' 表示归一化 Otsu 阈值，参数 S'^8 表示偏置值

连接强度

Kuntimad 和 Ranganath 计算了连接强度 \beta 的范围，并通过获取神经元捕获范围建立了连接强度与连接输入之间的关系。如果目标区域的强度范围为 [I_4,I_3]，背景区域的强度范围为 [I_2,I_1]（ I_4>I_2>I_3>I_1），则整幅图像的捕获结果可以为

\begin{equation} I_3(1+\beta L_{min1}(T_1)) \ge I4 \end{equation}

\begin{equation} I_1(1+\beta L_{min2}(T_2)) \ge I2 \end{equation}

\begin{equation} I_2(1+\beta L_{max2}(T_2)) < I4 \end{equation}

L_{min1}(T_1) 和 L_{min2}(T_2) 分别是对象和背景的最小连接输入。根据上式，参数 \beta 的取值范围可以为

\begin{equation} [\max\{(I_4/I_3-1)/L_{min1},(I_2/I_1-1)/L_{min2}\},(I_4/I_2-1)/L_{max2}] \end{equation}

SPCNN 提出了连接强度 \beta 的自动参数设置方法

\begin{equation} \beta=\frac{(S_{max}/S')-1}{6V_L} \end{equation}

基于 SPCNN 中的简化参数 \beta，PA-PCNN 中参数为

\begin{equation} \beta=\frac{1-S'}{6S'} \end{equation}

其中， S_{max} 表示整个图像的最大归一化强度， S' 表示归一化 Otsu 阈值

突触权重

基本 PCNN 中的参数 M_{ijkl} 和 W_{ijkl} 表示突触权重，即相邻神经元输出的总和

Ranganath 等人首先采用欧几里得距离的倒数来描述 M_{ijkl} 和 W_{ijkl} 如下：

\begin{equation} W_{ijkl},M_{ijkl}=\frac{1}{(i-k)^2+(j-l)^2} \end{equation}

部分文献采用指数函数调整突触权重，还有使用高斯分布的突触权重，公式为

\begin{equation} M_{ijkl}=C_{\sigma}e^{\frac{(i-k)^2+(j-l)^2}{2\sigma^2}} \end{equation}

其中， C 为归一化系数，表示邻近区域的平滑度。对于大多数修改后的模型，参数 M_{ijkl} 被删除，参数 W_{ijkl} 被保留以减少参数数量。部分文献用常数值矩阵表示突触权重如下

\begin{equation} W_{ijkl} = \begin{bmatrix} 0.5 & 1 & 0.5 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0.5 & 1 & 0.5 \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} W_{ijkl} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}

除了常数值之外，突触权重 W_{ijkl} 还可以设置为固定的参数值

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An Overview of Image Segmentation Based on Pulse‑Coupled Neural Network

摘要

Introduction

脉冲耦合神经网络

基本脉冲神经网络模型

经典 PCNN 改进模型

ICM（忽略了 PCNN 中的连接输入）

RG-PCNN

SCM

SPCNN

动态属性

前馈输入 F

连接输入 L

内部活动 U

动作电位 Y

动态阈值 E

特征表达

熵序列

时间序列和时间矩阵

临近点火矩阵

神经元点火的亚强度范围

参数设置

输入刺激

指数衰减因子

指数衰减因子 \alpha_f 和 \alpha_l

指数衰减因子 \alpha_e

输入幅度

前馈输入幅度 V_F 和连接输入幅度 V_L

动态阈值幅度 V_E

连接强度

突触权重

复杂 PCNN

Heterogeneous PCNN

Multi‑channel PCNN

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